我们已经完成了对光的定量描述，包括光谱 (Spectral Power Distribution)和辐射量。本章则是对颜色的定量描述，称为色度学 (Colorimetry)。

看到这里，我实在很想吐槽一下国内教材现状。比如说我们对比一下本书第二章和徐海松老师的《颜色信息工程》第二章。
本书 2.1.1 颜色混合定律，介绍了1854年提出的Grassmann的颜色混合定律；颜色信息工程 2.1.3 格拉斯曼颜色混合定律，内容几乎完全一样。
本书 2.1.2 颜色匹配实验，介绍了三基色颜色匹配实验的基本方法；颜色信息工程 2.1.1 颜色匹配实验，连装置的插图都是一模一样的。
这样基础的概念出现的顺序竟然不同；在色度学基础里突然出现色貌这样的词汇并不加解释；一本书里是明度，一本书里却写亮度。给人一种生怕读者学会了的幽默体验。

颜色的混合

混合：颜色的混合分为加色和减色。将各种颜色的光照射在白纸上，能够混合出一个白光，而将各种颜料涂抹在白纸上，则得到黑色。实验中比较常用的是加色混合，显示屏用到的便是加色混合。

匹配 (Matching)：一个区域的一半用一种光照亮，另一半用另一种。如果观察者在中间不能观察到分界线，即两边“看起来”是一样的，那么这两个光（或称对应的颜色）对该观察者来说是匹配的。

颜色与光：人感知光，产生颜色的感觉。光是物理量，颜色则是心理物理量。一种光对应一种颜色，一种颜色却不一定对应一种光。

颜色的量：颜色是由光产生的，光的量能够用辐射量衡量，颜色的量也可以相对的用辐射量来衡量。比如辐射量变为两倍，“颜色的量”也变为两倍。

一定条件下，人眼对颜色混合的感知是线性的，包括以下方面：

  1. 如果两个光匹配，两个光具有相同的颜色，将两个颜色的量改变相同的倍数，他们仍然匹配。
  2. 如果颜色A和B匹配，颜色C与D匹配，那么颜色A和C的混合与颜色B和D的混合也能匹配。
  3. 如果颜色A和B的混合匹配颜色C，颜色X和Y的混合匹配颜色B。那么颜色A，X，Y的混合匹配颜色C。

简单来说，颜色的混合和小学里学的加法一样，因为颜色的混合本质上就是光谱的叠加，而辐射量自然是可以线性相加的。另外，匹配完成后，不会随着环境的变化而改变，比如改变一下背景的亮度，冷暖等，不会破坏白纸上两边光的匹配。

虽然颜色的混合是线性的，但并不代表对颜色的感知是线性的。以亮度为例，1单位光叠加1单位光能够和2单位光匹配，不代表人对亮度的感知是线性增长的。

CIE 1931 RGB 颜色匹配函数

CIE：国际照明委员会（Commission Internationale de l’Eclairage）是一个国际性的组织，致力于研究光、颜色和照明等问题。CIE为色彩科学领域制定了一系列标准。之前介绍的光谱视效率函数 $V(\lambda)$ 就是CIE制定的标准之一。在色彩科学的方方面面都能见到它的身影。

有关CIE 1931 RGB及颜色匹配函数的详细内容，请看这篇很好的博客https://yuhaozhu.com/blog/cmf.html

$$ C(\lambda) = \bar{r}(\lambda) R + \bar{g}(\lambda) G + \bar{b}(\lambda) B $$

有一些波长的单色光无法取得匹配，需要把三基色中的一种移动到单色光的这一边，此时他的系数为负。

于是，我们能得到一组曲线，称之为颜色匹配函数 (Color Matching Functions)，也就是 $\bar{r}(\lambda)$，$\bar{g}(\lambda)$，$\bar{b}(\lambda)$。1920年代，W.D. Wright 和 J. Guild 等人通过实验得到了一些数据，CIE在1931年整理并推荐了一组标准的颜色匹配函数，称为 CIE 1931 RGB 颜色匹配函数。

此处我们忽略了无数细节，比如实验中每个波长的单色光的能量是否相同；Wright 和 Guild 使用的三基色的波长并不相同，与CIE最终推荐的三基色波长也不相同，这些数据是如何被转换的；他们是否归一化，如何归一化，最终颜色匹配函数的单位到底是什么等等。教材们虽然废话连篇，却在这里选择一笔带过，推荐阅读链接中的文章。

此处的函数值我们称之为三刺激值 (Tristimulus Values)。CIE 1931 RGB 颜色匹配函数只包含2°视角的数据，2°视角对应了人眼的中央凹，是视锥细胞分布最密集的区域。Wright 的实验包含10位观察者，Guild的实验则是7位，也就是说，这17个人的实验数据奠定了后来近百年色彩科学的基础，也留下了隐患和问题。

$$ r = \frac{R}{R+G+B} $$


g 和 b 同理。如此得到的 $r + g + b = 1$，称为色品坐标。

在 1931 RGB 系统中，三基色的光亮度（考虑了光谱视效函数的亮度）比例为 $1:4.5907:0.0601$ 时能混合出与等能白光匹配的颜色，且把匹配函数按比例相加后，能得到先前提到的光谱视效函数 $V(\lambda)$，即可以用三刺激值计算光亮度。这应该是 CIE 1931 RGB 归一化时的参考

等能白光：所有波长的辐射能量相等的光，在 1931 RGB 系统中，等能白光的三刺激值为 (0.33, 0.33, 0.33)。

CIE 1931 XYZ 色度系统

CIE 1931 RGB 颜色匹配函数基于真实存在的三原色光，因此其计算结果中包含一些负值，这在当时导致了计算上的困难。为了解决这一问题，CIE 推荐了 CIE 1931 XYZ 标准色度系统，该系统使用了假想的三原色光，不仅确保了三刺激值均为正值，还实现了其他一些目标。

$$ \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.7689 & 1.7517 & 1.1302 \\ 1.0000 & 4.5907 & 0.0601 \\ 0.0000 & 0.0565 & 5.5943 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix} $$


变换矩阵满足了以下条件：

  1. RGB系统中，560-700 nm为一条直线，因为这段范围内不再需要短波长的光参与匹配，新三原色中，希望有两个处于这条直线上。
  2. 希望用 XYZ 中的 Y 值来表示亮度，而 X 和 Z 对亮度的贡献为 0，因此 X 和 Z 应位于无亮度直线上，即 $r + 4.5907g + 0.0601b = 0$。
  3. 最后一条边是在光谱轨迹上与503 nm相切的一条直线。
  4. 等能白点仍然位于 (0.33, 0.33, 0.33)

变换后的 XYZ 颜色匹配函数均为正，代表了三个虚构的三原色光的亮度。其中，$Y(\lambda)$ 与光谱视效函数 $V(\lambda)$ 相同。Y 值等同于光亮度。

将 XYZ 归一化，得到色度坐标和光亮度 $xyY$，可画出 CIE 1931 xy 色度图。

色度图上的着色是为了美观，色度图上的点只有色度信息，而无亮度信息，比如图上没有灰色等。因为色度图仍然是线性的，因此在上面选两个点对应的色光，可以混合出这两个点之间的线段上的颜色。如果选三个点，可以混合出三角形内的颜色，这也是表示显示屏能够显示的颜色范围的方法。从图中还能看出，不存在三种色光能够混合出人眼能感知的全部颜色。

均匀颜色空间

颜色空间（Colour Space）：是颜色的数学表示，用几个量（一般是三个）表示颜色。例如 CIE 1931 XYZ 就是一个用 XYZ 三刺激值表示颜色的颜色空间。颜色空间可以是线性的，即颜色之间可以相加减，也可以是非线性的，不同的颜色空间有不同的功能。色彩科学中，需要在合适的颜色空间中对颜色进行处理。

亮度的非线性

首先，人眼对亮度的感知是非线性的，与匹配实验类似，让被试观察色品坐标相同，但亮度不同的两种颜色。他们的亮度分别是 $L$ 和 $L+\Delta L$，当两个亮度差别很小时， 仍然能够达到视觉上的匹配，当亮度差超出某一阈值，能观察到差异，此时的亮度差称为“恰好可察觉的差”（Just Noticeable Difference, JND）。亮度不同时，JND 也不同，所以 XYZ 色空间中的亮度 Y 是不均匀的，Y 从10变为20，90变为100，在感知亮度上的变化是不同的。为了解决这个问题，提出两个新的概念：明度（Lightness）和视明度（Brightness），视明度是对绝对亮度的感知，也就是一个光“亮”的程度，明度则是视明度的相对值，表示相对同样照明环境下完全漫反射白的物体的“亮”的程度，例如一张白纸，不论在晴朗的室外，还是室内，其明度均为90（相对100），但视明度会变化。明度的目标是相同的明度变化，在亮度上的感知变化也是相同的。

根据不同的实验结果，提出了很多的明度模型。最简单的明度模型仅为一个幂函数，如 Hunter 的明度 $L_H = Y ^ {0.5}$。尽管明度的模型有些简单有些复杂，但他们的基本形状都接近，即暗的时候，人眼对亮度的感知增长较快，亮处则较缓，比如人眼感知的介于黑和白之间的灰色，大约具有 18-25% 的反射率，而非 50%。

色度的非线性

同样的，如果在 CIE 1931 xy 色品图上取比较靠近的两个点，被试可能无法区分他们的颜色，即小于 JND。MacAdam进行了一些实验，让被试对同一个颜色向不同方向进行加色混色（即往不同的方向偏离），记录能辨别差异时的新位置。实验发现，这些新位置可以用一个椭圆较好的拟合，因此称为 MacAdam 椭圆。

从画在 CIE 1931 xy 色品图上的 MacAdam 椭圆可以看出，该色彩空间的色度均匀性比较差，椭圆大小不一。针对色度的均匀性，也有诸多尝试，比如注意到色品图上半部分的椭圆较细长，那就对色品图进行纵向的压缩，但简单的变换都不能得到较满意的结果。比较著名的尝试有 CIE 1960 UCS 和 1976 UCS。通过对 xy 进行简单的变换，转换为新的色坐标 uv 或 u’v’，在均匀性上有一些提升，此处的 UCS 指代 Uniform-Chromaticity-Scale，均匀色品标尺。

均匀颜色空间

明度模型（或称均匀明度标尺）和均匀色品标尺共同组成了三维的颜色空间，称为均匀颜色空间（Uniform Colour Space）。比较著名的有 CIE 1976 \(L^*a^*b^* \)，或称 CIELAB。使用表示明度的 \(L^*\) 和表示红-绿，黄-蓝方向上色度的 \(a^*b^*\) 组成，需注意星号也是符号的一部分，应避免使用 Lab 这样的写法，容易与其他色空间中的符号混淆。

CIELAB 是一个相对的颜色空间，需要先确定一个“参考白点”，该照明环境下完全漫射白的三刺激值 $X_n, Y_n, Z_n$。

$$ L^* = 116 f(\frac{Y}{Y_n}) - 16 $$$$ a^* = 500 [f(\frac{X}{X_n}) - f(\frac{Y}{Y_n})] $$$$ b^* = 200 [f(\frac{Y}{Y_n}) - f(\frac{Z}{Z_n})] $$

其中，

$$ f(t) = \begin{cases} t^{1/3} & t > (24/116)^{3} \\ (841 / 108)t + 16/116 & t \leq (24/116)^{3} \end{cases} $$

CIELAB 至今仍是使用最广泛的均匀颜色空间。

色差

在工业应用中，我们需要定量的衡量颜色之间的差异。例如在质量检测中，生产的一批产品的表面颜色差异小于多少视为合格。

$$ \Delta E_{ab}=\sqrt{(\Delta L^*)^2+(\Delta a^*)^2+(\Delta b^*)^2} $$

遗憾的是，CIELAB 的均匀性没有强大到可以直接应用这样的距离公式来衡量色差。后来几十年间又诞生了各种各样在 CIELAB 空间上计算色差的补丁，其中最著名的一个是 M.R.Luo 提出的 CIE 2000 色差公式或 CIEDE 2000，其符号为 $\Delta E_{00}$，如果经常关注数码或显示器，应该经常见到 DE2000 作为衡量显示器色差的常用工具。

CIEDE 2000 虽然计算复杂，但它目前是在所有数据集中性能最好的之一，也是 CIE 推荐的最新的色差公式。

孟塞尔颜色系统

Munsell 是美国的一位画家，早在 1905 年（早于 CIE 1931 XYZ），他就通过总结前人经验并结合自身画家的身份，制定了一套色序系统（Colour Order System）。所谓色序系统，是指从视觉感知开始，将各种颜色样本按一定的顺序分类和排序形成的色彩系统。

牛顿在将白光分出彩虹色光的时候，我们就已经能将颜色分为红橙黄绿蓝青紫等颜色，这实际上就是对颜色的色相（Hue）进行分类。

Munsell将颜色按三个维度，明度（Value），色相（Hue）和色度（Chroma），将颜色排列到一个三维空间中，称为颜色立体。其中的颜色卡片在视觉感知上，在三个维度上都被认为是等间隔的。是目前应用最广泛的颜色系统之一。

因为 Munsell Color System 被认为是感知上均匀的，因此测量其中颜色的三刺激值，并转换到后来的均匀颜色空间中，观察这些点在均匀颜色空间中的分布是否仍然比较“均匀”，就能够一定程度上衡量均匀颜色空间的性能。

M. Li and M. R. Luo, ‘Simple color appearance model (sCAM) based on simple uniform color space (sUCS)’, Opt. Express, vol. 32, no. 3, p. 3100, Jan. 2024, doi: 10.1364/OE.510196.